Transformasi
adalah suatu perpindaban/perubaban.
- TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
Matriks
|
Perubahan
|
Perubahan
|
é
a
ù
ë bû |
(x,y)
® (x+a, y+b)
|
F(x,y)
= 0 ® (x-a, y-b) = 0
|
Ket
:
x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b |
- Sifat:
- Dua buah
translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
ë b û
dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
ë d û ë b + d û - Pada suatu
translasi setiap bangunnya tidak berubah.
- REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)
Pencerminan
terhadap
|
Matriks
|
Perubahan
Titik
|
Perubahan
fungsi
|
sumbu-x
|
é 1
-0 ù
ë 0 -1 û |
(x,y)
® (x,-y)
|
F(x,y)
= 0 ® F(x,-y) = 0
|
sumbu
-y
|
é -1 0 ù
ë -0 1 û |
(x,y)
® (-x,y)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-x,y) = 0
|
garis
y = x
|
é 0 1
ù
ë 1 0 û |
(x,y)
® (y,x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(y,x) = 0
|
garis
y = -x
|
é -0 -1 ù
ë -1 -0 û |
(x,y)
® (-y,-x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-y,-x)= 0
|
Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
SIFAT-SIFAT
a. Dua
refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas,
artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan
dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan
translasi (pergeseran) dengan sifat:
§ Jarak
bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu
pencerminan.
§ Arah
translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke
sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
c. Pengerjaaan
dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi
(pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu
pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat
komutatif.
d. Pengerjaan
dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan
rotasi (perputaran) yang bersifat:
§ Titik
potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
§ Besar
sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu
pencerminan.
§ Arah
perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
rotasi
|
matriks
|
perubahan
titik
|
perubahan
fungsi
|
½
p
|
é0 -1ù
ë1 -0 û |
(x,y) ® (-y,x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(y,-x) = 0
|
p
|
é-1 0ù
ë1 -1 û |
(x,y)
® (-x,-y)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-x,-y) = 0
|
3/2
p
|
é0 -1ù
ë-1 0 û |
(x,y)
® (y,-x)
|
F(x,y)
= 0 ® F(-y,x) = 0
|
q
|
écosq -sinq ù
ësinq cosq û |
(x,y)
® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q)
F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0 |
Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
SIFAT-SIFAT
.
Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama
dengan jumlah kedua sudut putar semula.
a. Pada
suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)
Dilatasi
|
Matriks
|
Perubahan
titik
|
Perubahan
fungsi
|
(0,k)
|
ék 0ù
ë0 kû |
(x,y)®(kx,ky)
|
F(x,y)=0®F(x/k,y/k)
|
Ket.:
(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
TRANSFORMASI LINIER
Ditentukan oleh matriks éa bù
ëc dû
é x' ù = é a b ù é x ù
ë y' û ë c d û ë y û
é x ù = 1 é a -b ù é x' ù
ë y û ad - bc ë -c d û ë y' û
Ditentukan oleh matriks éa bù
ëc dû
é x' ù = é a b ù é x ù
ë y' û ë c d û ë y û
é x ù = 1 é a -b ù é x' ù
ë y û ad - bc ë -c d û ë y' û
Perubahan Titik
|
Perubahan
Fungsi
|
(x,y)®(ax+by, cx+dy)
|
F(x,y)=0
® édx - by , -cx + ay ù
ëad - bc ad - bc û |
Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.